In questo esercizio si analizza l’influenza della massa della molla sul periodo del moto armonico di una massa sospesa, confrontando i valori ottenuti nei seguenti modi:

  • sperimentalmente,
  • con un modello ad $ 1 $ grado di libertà,
  • con un modello ad $ N $ gradi di libertà,
  • con un modello analitico basato sull’equazione delle onde.

Dati sperimentali

I dati ottenuti mediante sperimentazione sono riassunti nella seguente tabella:

quantità simbolo valore incertezza
massa della molla $M$ 57.53 g ±0.01 g
massa sospesa $m$ 96.02 g ±0.01 g
rigidezza della molla $k$ 6.23 N/m ±0.08 N/m
periodo sperimentale $T_\mathrm{s}$ 0.855 s ±0.007 s

Risultati

Di seguito sono riassunti i principali risultati.

Modelli ad 1 grado di libertà

Per i modelli ad 1 grado di libertà è sufficiente usare le note formule del periodo di un oscillatore armonico.

modello formula valore incertezza
oscillatore armonico trascurando massa della molla $T_\mathrm{o} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ 0.780 s ±0.006 s
approssimazione primo ordine per $m \gg M$ $T_\mathrm{o,1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m+\frac13M}{k}}$ 0.854 s ±0.006 s

L’incertezza con la quale è stimato il periodo da questi modelli è legata principalmente all’incertezza associata alla misura della rigidizza della molla, mentre l’effetto dell’incertezza associata alla massa è trascurabile.

Modello ad $N$ gradi di libertà e modello analitico

Per illustrare la convergenza dei modelli a $N$ gradi di libertà in seguto si riportano le soluzioni arrotondate alla 8a cifra decimale. Ovviamente le grandezze fisiche (principalmente la rigidezza $k$) hanno una incertezza ben maggiore: lo scopo è solo quello di illustrare le proprietà matematiche del metodo.

Tutti i calcoli sono effettuati in MATLAB® assumendo i valori sperimentali come valori esatti, non affetti da incertezza. Si ricorda che MATLAB implementa l’aritmetica IEEE 754 in doppia precisione (circa 16 cifre siginificative decimali.)

$N$ $T_N / \mathrm{s}$ $(T_\infty - T_N) / \mathrm{s}$
1 0.854 389 30 0.002 467 64
3 0.856 518 00 0.000 338 94
10 0.856 825 76 0.000 031 18
32 0.856 853 89 0.000 003 05
100 0.856 856 62 0.000 000 31
316 0.856 856 90 0.000 000 03
$\infty $ 0.856 856 94 0

Ovviamente per $N=1$ la soluzione coincide con $T_\mathrm{o,1}$; per convenzione $N=\infty$ indica la soluzione analitica.

Conclusioni

In questo particolare esempio la massa della molla è circa il 60% della massa sospesa. Evidentemente è errato trascurare la massa della molla: il valore $T_\mathrm{o}$ è affetto da un errore (≈ 0.075 s) circa dieci volte maggiore dell’incertezza sperimentale.

L’approssimazione del primo ordine, $T_\mathrm{o,1}$ invece è affetta da un errore dello stesso ordine di grandezza dell’incertezza sperimentale, e dunque si rivela più che adeguata.

Utilizzando modelli ad $N$ gradi di libertà è possibile ottenere delle soluzioni numeriche che convergono alla soluzione analitica. La stima della velocità di convergenza è quadratica.

Sviluppi facoltativi

Matrice di massa diagonalizzata

Le soluzioni per i modelli a $N$ gradi di libertà sono ottenute utilizzando per ciascuno degli $N$ elementi la matrice di massa consistente

\begin{equation} \mathbf{M} = \frac{M}{N} \begin{bmatrix} \frac13 & \frac16 \newline \frac16 & \frac13 \end{bmatrix} \end{equation}

Ripetere l’analisi utilizzando la matrice di massa diagonalizzata

\begin{equation} \mathbf{M} = \frac{M}{N} \begin{bmatrix} \frac12 & 0 \newline 0 & \frac12 \end{bmatrix} \end{equation}

e confrontare i risultati in termini di convergenza alla soluzione analitica.

Stima dell’azione normale

Produrre un grafico nel quale si confronta l’andamento dell’azione normale nelle $N$ molle con la soluzione analitica.

Risorse

Sperimentazione

  • Relazione sulle misure e sull’elaborazione dei dati sperimentali.

File MATLAB

  • Funzione per il calcolo delle matrici di rigidezza e di massa: km.m
  • Script per la soluzione guidata dell’esercizio: svolgimento.m

Appunti